こんにちは。今井です。
花粉症大丈夫でしょうか？私自身花粉症なのですが、病院の薬を服用したところ、めちゃくちゃ良くなりました。皆さんも是非試してみてください。
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今回の問題は差の因数分解を一般化しようと言う問題です。ポイントも多く含まれているので、一度解いてみてください。
講評
この問題のランクはAとBの間くらいです。これを知っておくと整数問題などにも応用できるので是非身につけておきたい知識です。
略解
予備知識は「x2ーy2の因数分解」「シグマ計算」「数学的帰納法」（「合同式の扱い」）です。
(1)~(3)は言わずもがな。
(4)は(x+y)(x4-y4)-xy(x3-y3)から式変形することによっても得られます。（実は同様にして(5)が解けます。）
(5)は上で説明したものと同様にして「数学的帰納法を使う」か「等比数列の和の公式を使う」かだと思います。「数学的帰納法を使う」場合は２つ仮定となるのでn=1,2の2つの確認を行いましょう。「等比数列の和の公式を使う」場合には（公比）=1と≠１で場合わけが必要です。
(6)は合同式を使うか、(5)の利用をするのかのどちらかだと思います。作問者の意図を汲み取って(5)を利用しましょう。
本解
1cb02e37fadc672aaeaef0c7432c06cf最後に
解答速報をいくつか出させていただきましたが、少し間違いがあったりと見てくださっていた方に迷惑をおかけしたことを深くお詫びいたします。
一層の努力を致しますのでどうか温かい目で見守ってください。
今日の標語
人を納得させるにはまず行動だ。