こんにちは。今井です。（このブログにおける数学の学び方や注意するべきことはこちら）
数学の論証力ついてますでしょうか？
というわけで記念すべき第１回目の問題はこちらの論証問題です。特に論証が難しいというわけではないです(笑)
空白を作っておいたので、コピーしてやってみるなり考えてみてください。
講評
この問題のレベルはBランクです。典型問題ではありませんが、基本的な解法が抑えられていれば自然な発想で解けるはずです。まずはトライしてみましょう。
略解（解法の流れ）
予備知識は特に要りません。別解では「n個の連続する整数の席はn!の倍数である」という知識が必要です。（その証明や説明についてはこちらが分かりやすいです。）
(1)はまず条件を書き出すところから始め、短調に計算していくと答えが得られます。
(2)は(1)で得られた2a,2bが整数という条件を使うためにはどうすれば良いのか考えると、まず偶数の時にはf(n)が整数というのが分かります。その後に奇数の条件を考えてみると、a+b+c=f(0)が見え、その時にもf(n)が整数というのが分かります。この場合分けで問題が解けるわけです。
私は始め、この解き方をしましたが、場合分けなしでできる方法があります。それが（別解）で、ここでは(1)で得られたaとbの条件を代入して計算していくことで連続二整数×1/2の形が見えます。連続二整数は偶数であるので連続二整数×1/2は整数となり、f(n)が整数というのが得られるわけです。
しかし、この解法は場合分けなしで鮮やかに解けるものの、連続二整数×1/2の形を作るという意識がなければそれを見つけることができず、沼にハマることになります。実際問題として出たときには前者の場合分けのやり方が起想しやすく自然でしょう。
本解
1cb02e37fadc672aaeaef0c7432c06cf-2今日の標語
人を愛しなさい。そうすれば人はあなたを愛してくれる。