大阪公立大学 サンプル問題 後期数学 大問3 解答 講評

大阪公立大学 サンプル問題 後期数学 大問3 解答 講評

こんにちは。先日(といっても結構前ですが)大阪公立大学のサンプル問題が公開されました。

(→サンプル問題を解きたい人はこちら

これからしばらくサンプル問題を解いていこうと思います。

一時的に手書き答案になりますがご容赦ください。時間が出来次第問題・解答の打ち込みを行います。

問題

問題所見

今回後期数学(数学1,2,3,A,B)の大問3の解答・講評です。

難易度は計算の煩雑さを含めてB+ランクですね。

よくある確率漸化式の問題です。確率漸化式の割には計算が簡単でありがたいです。

後期試験を受ける生徒は全て解き切って欲しいところです。

解答

それでは解答を見せます。

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解説

(1)この問題は確実に取りましょう。しっかりA面B面など定義してあげて、時刻nにAが点灯するときには時刻n-1にA面B面でない面が点灯していなければならなく、それらの面からA面に移動する確率は1/4なので一つ漸化式を立てることができます。

次にB面n≧2についても同じことが言えるということからn≧1においてpn=qnが得られます。それらを連立してqを消去するとpに関する特性方程式型の漸化式になりますのであとは計算するだけです。

漸化式はnが何の値の時に成り立っているかを適宜確認しながら進めたいですね。

(2)これは確率の定義を問うような問題です。
確率の定義は

(ある事象の要素の数)/(全事象の要素の数)

であるから全事象の要素の数を求めればいいですね。全事象の数は最初に点滅する数字に関して6通り、1つの動きに関して4通りでありますから

6×4n 通り   です。

なのでこれを(1)の確率にかけるだけです。

最後に

この問題は確率漸化式の基本知識と確率の本質を問う問題が入った良問ですね。公立大志望者だけでなく多くの人に解いてもらいたいような問題です。難易度で言えばBなので受験生は是非溶けるようになっておきましょう。


ではでは。

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